Materi Kuliah

Sabtu, 17 November 2012

Contoh Penerapan Diferensial Pada Pemrograman Komputer

Teknologi informasi menyediakan akses informasi yang dapat secara langsung mendukung pelaksanaan kegiatan proses belajar dan mengajar. Pemrograman web pada teknologi informasi menggunakan ilmu logika, perhitungan, bilangan biner, aritmatika, sistem bilangan, integral dan masih banyak yang dimanfaatkan untuk keperluan di bidang teknologi informasi. Banyaknya peranan dari matematika terhadap teknologi informasi menjadikan ilmu komputer suatu disiplin ilmu yang baru dengan berbagai ilmu di dalamnya seperti algoritma, aljabar boolean, matematika diskrit maupun statistika.
Teknologi yang berkembang saat ini menunjukkan bahwa telah banyak penerapan dari matematika dalam pengembangan ilmu di bidang lain. Salah satu contoh penerapan ilmu komputer yang digunakan untuk pengembangan di berbagai bidang adalah Persamaan Diferensial Elementer. Persamaan Diferensial Elementer membahas mengenai bagaimana persamaan diferensial digunakan atau dimanfaatkan dalam memecahkan suatu masalah dalam kehidupan sehari-hari.
Awal mula komputer yang sebenarnya dibentuk oleh seorang profesor matematika Inggris,Charles Babbage (1791-1871). Tahun 1812,Babbage memperhatikan kesesuaian alam antara mesin mekanik dan matematika yaitu mesin mekanik sangat baik dalam mengerjakan tugas yang sama berulangkali tanpa kesalahan,sedang matematika membutuhkan repetisi sederhana dari suatu langkah-langkah tertentu.Masalah tersebut kemudain berkembang hingga menempatkan mesin mekanik sebagai alat untuk menjawab kebutuhan mekanik.Usaha Babbage yang pertama untuk menjawab masalah ini muncul pada tahun 1822 ketika ia mengusulkan suatu mesin untuk melakukanperhitungan persamaan differensial.Mesin tersebut dinamakan Mesin Differensial.Dengan menggunakan tenaga uap,mesin tersebut dapat menyimpan program dan dapat melakukan kalkulasi serta mencetak hasilnya secara otomatis.

Setelah bekerja dengan Mesin Differensial selama sepuluh tahun,Babbage tiba-tiba terinspirasi untuk memulai membuat komputer general-purpose yang pertama,yang disebut Analytical Engine.Asisten Babbage,Augusta Ada King (1815-1842) memiliki peran penting dalam pembuatan mesin ini.Ia membantu merevisi rencana,mencari pendanaan dari pemerintah Inggris,dan mengkomunikasikan spesifikasi Analytical Engine kepada publik.Selain itu,pemahaman Augusta yang baik tentang mesin ini memungkinkannya membuat instruksi untuk dimasukkan ke dalam mesin dan juga membuatnya menjadi programmer wanita yang pertama.Pada tahun 1980,Departemen Pertahanan Amerika Serikat menamakan sebuah bahasa pemrograman dengan nama ADA sebagai penghormatan kepadanya.


Mesin uap Babbage,walaupun tidak pernah selesai dikerjakan,tampak sangat primitif apabila dibandingkan dengan standar masa kini.Bagaimanapun juga,alat tersebut menggambarkan elemen dasar dari sebuah komputer modern dan juga mengungkapkan sebuah konsep penting.Terdiri dari sekitar 50.000 komponen,disain dasar dari Analytical Engine menggunakan kartu-kartu perforasi (berlubang-lubang) yang berisi instruksi operasi bagi mesin tersebut.


Pada Tahun 1889,Herman Hollerith (1860-1929) juga menerapkan prinsip kartu perforasi untuk melakukan penghitungan.Tugas pertamanya adalah menemukan cara yang lebih cepat untuk melakukan perhitungan bagi Biro Sensus Amerika Serikat.Sensus sebelumnya yang dilakukan di tahun 1880 membutuhkan waktu tujuh tahun untuk menyelesaikan perhitungan.Dengan berkembangnya populasi,Biro tersebut memperkirakan bahwa dibutuhkan waktu sepuluh tahun untuk menyelesaikan perhitungan sensus.


Hollerith menggunakan kartu perforasi untuk memasukkan data sensus yang kemudian diolah oleh alat tersebut secara mekanik.Sebuah kartu dapat menyimpan hingga 80 variabel.Dengan menggunakan alat tersebut,hasil sensus dapat diselesaikan dalam waktu enam minggu.Selain memiliki keuntungan dalam bidang kecepatan,kartu tersebut berfungsi sebagai media penyimpan data.Tingkat kesalahan perhitungan juga dapat ditekan secara drastis.Hollerith kemudian mengembangkan alat tersebut dan menjualnya ke masyarakat luas.Ia mendirikan Tabulating Machine Company pada tahun 1896 yang kemudian menjadi International Business Machine (1924) setelah mengalami beberapa kali merger.Perusahaan lain seperti Remington Rand and Burroghs juga memproduksi alat pembaca kartu perforasi untuk usaha bisnis.Kartu perforasi digunakan oleh kalangan bisnis dan pemerintahan untuk permrosesan data hingga tahun 1960.


Pada masa berikutnya,beberapa Insinyur membuat penemuan baru lainnya.Vannevar Bush (1890-1974) membuat sebuah kalkulator untuk menyelesaikan persamaan differensial di tahun 1931.Mesin tersebut dapat menyelesaikan persamaan differensial kompleks yang selama ini dianggap rumit oleh kalangan akademisi.Mesin tersebut sangat besar dan berat karena ratusan gerigi dan poros yang dibutuhkan untuk melakukan perhitungan.Pada tahun 1903,John V. Atanasoff dan Clifford Berry mencoba membuat komputer elektrik yang menerapkan aljabar Boolean pada sirkuit elektrik.Pendekatan ini didasarkan pada hasil kerja George Boole (1815-1864) berupa sistem biner aljabar,yang menyatakan bahwa setiap persamaan matematik dapat dinyatakan sebagai benar atau salah.Dengan mengaplikasikan kondisi benar-salah ke dalam sirkuit listrik dalam bentuk terhubung-terputus,Atanasoff dan Berry membuat komputer elektrik pertama di tahun 1940.Namun proyek mereka terhenti karena kehilangan sumber pendanaan.

Jumat, 26 Oktober 2012

Persamaan Diferensial Pada Matematika Diskrit

Persamaan diferensial pada matematika diskrit khususnya adalah Persamaan suatu fungsi matematika yang memiliki satu variabel atau lebih, dimana fungsi tersebut saling berhubungan antara fungsi itu sendiri dan turunanya.

Selain dalam matematika diskrit, Persamaan diferensial ini juga digunakan dalam ilmu hitung lainya baik dari ilmu fisika, ekonomi dan ilmu lainya



 Persamaan diferensial parsial (PDP) adalah persamaan diferensial di mana fungsi yang tidak diketahui adalah fungsi dari banyak variabel bebas, dan persamaan tersebut juga melibatkan turunan parsial.

Orde persamaan didefinisikan seperti pada persamaan diferensial biasa, namun klasifikasi lebih jauh ke dalam persamaan eliptik, hiperbolik, dan parabolik, terutama untuk persamaan diferensial linear orde dua, sangatlah penting. Baik persamaan diferensial biasa maupun parsial dapat digolongkan sebagai linier atau nonlinier.

Klasifikasi lain adalah tergantung pada banyaknya fungsi-fungsi yang tidak diketahui.Jika hanya terdapat fungsi tunggal yang akan ditentukan maka satu persamaan sudah cukup.

Akan tetapi jika terdapat dua atau lebih fungsi yang tidak diketahui maka sebuah sistem dari persamaan diperlukan.
Untuk contohnya, persamaan Lotka-Volterra atau predator-pray adalah contoh sistem persamaan yang sangat penting yang merupakan model dalam ekologi.

Persamaan tersebut mempunyai bentuk:

dx/dt = ax - axy
dy/dt = -cy+ °xy

Persamaan diferensial sendiri dapat dibagi menurut  
  1. Menurut jenis atau tipe : yaitu persamaan diferensial  biasa dan persamaan diferensial  parsial. 
  2.  Menurut orde: orde persamaan diferensial adalah orde tertinggi turunan fungsi yang ada dalam persamaan.  d3y/dx3 adalah orde tiga d2y/dx2 adalah orde dua dy/dx adalah orde satu.
  3. Menurut derajat: derajat suatu persamaan diferensial adalah pangkat tertinggi dari turunan fungsi orde tertinggi. Sebagai contoh: ( d3y/dx3)2 + ( d2y / dx2)5 + y/x2+1 =ex adalah persamaan diferensial biasa, orde tiga, derajat dua.  
Penerapan persamaan diferensial pada kehidupan sehari-hari dan Matematika diskrit.

Dalam penerapanya Persamaan Diferensial ini dalam matematika adalah pencarian nilai fungsi turunan untuk memudahkan perhitungan, sedangkan untuk penerapan lain ilmu yang dipengaruhi oleh Persamaan diferensial ini adalah Ilmu Fisika misal dalam hukum newton, Percepatan dan Kecepatan, Perhitungan Radio Nuklir dan masih ba
nyak  lagi.


sumber : id.wikipedia.com